Aritmatika dan Geometri

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Latar belakang penyusunan makalah ini agar pemakalah sendiri tahu serta mengerti tentang pengertian deret geometri dan pengertian deret aritmatika contoh serta pembahagianya. Selain itu tujuan penulisan makalah ini juga untuk melengkapi tugas dari Dosen pembimbing.

                       

1.2  Metode Penyusunan

Metode penyusunan makalah ini yaitu dengan cara merangkum dari berbagai sumber yang kemudian kami kemas dan kami susun sehingga menjadi sebuah makalah yang amat sangat sederhana dan terdapat banyak kekurangan.

                    

BAB II

PEMBAHASAN

1.      Pengertian  geometri

            Geometri menurut bahasa adalah, geometri berasal dari bahasa latin “ Geometria”, Geo : Tanah dan Metria : Ukuran. Geometri di Indonesia diterjemahkan Ilmu Ukur.

            Geometri menurut istilah adalah Cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, Bidang dan benda-benda ruang beserta sifat, ukuran dan hubungannya dengan yang lain.

            Objek Geometri adalah Benda pikir yang berasal dari benda nyata yang diabstraksikan dan di Idialisasikan.

            Diabstraksikan adalah tidak diperhatikan warna, bau, suhu dan sifat-sifat yang lain.
dan Diidialisasikan adalah Dianggap sempurna.

2.      Barisan geometri

            Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan(rasio) antara 2 suku berurutan adalah konstan.

Suatu barisan U₁, U₂, U₃, ....disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai perbandingan yang tetap itu disebut rasio.

Bagaimana cara menentukan suku ke-n tanpa harus menentukan semua suku sebelumnya?

 Suatu barisan geometri disebut barisan geometri rurun jika 0 < r < 1 dan disebut barisan geometri naik jika r > l.

Contoh :

Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri 4, 8, 16, ...!

Jawab :
Dari Barisan Geometri 4, 8, 16, ..., diperoleh suku pertama a = 4 dan rasio r = 2 sehingga

3.      Deret geometri

            Deret geometri adalah jumlah dari beberapa suku pada deret geometri.

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah dan suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
             _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar.

Contoh:

4.      Deret geometri tak hingga

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U₁ + U₂ + U₃ +..............................
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1 

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

Penggunaan:

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.

.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® Mⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

5.      Pengertian aritmatika

Bentuk :    2,3,4,5,6,…..

3,6,9,12,15, ….

2,3,5,7,11,13, …..

       Masing-masing disebut barisan.

            Jadi barisan adalah suatu urutan bilangan dengan suatu aturan tertentu. Atau, barisan merupakan nilaidari suatu fungsi yang domainnya bilangan asli.

6.      Baris aritmatika

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika,

jika U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1 
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b

U₁, U₂,   U₃ ............., U_n
Rumus Suku ke-n :
U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

·         Suku Barisan

            Barisan bilangan u1,u2,u3, ……. , un(un = rumus suku ke n) disebut barisan aritmatika (BA) jika berlaku sifat u2 – u1 = u3 – u2 = un – un-1 = konstanta ( konstan = beda, disingkat b).

            Barisan aritmatika juga ditulis dengan : a, a + b, a + 2b, ….., a + (n-1)b di manaa adalah suku pertama, bbeda, dann adalah banyaknya suku. Rumus suku ke n barisan aritmatika adalah: Un = a + (n-1)b

·         Jumlah Suku

            Jika u1,u2,u3, ……. , un barisan aritmatika maka u1+u2+u3+…+n disebut deret aritmatika (DA).

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

Sn = ½ n (a + Un)

     = ½ n[2a + (n-1)b ]

·         Sifat Sifat

a. Beda = un–un-1 , jika b > 0 disebut BA naik , dan b < 0 disebutBA turun.

b. Un=Sn–S(n-1)

c. Jika a, b, dan c adalah BA maka berlaku 2b = a + c( a, b, c dapat ditulis x – b, x,   x+b )

d. Jika n ganjil maka suku tengahnya Ut=½(a+Un)
e. Sisipan : jika antara bilangan x dan y disisipkank bilangan lain sehingga membentuk BA baru.

            Yang namanya barisan adalah berjajar, kalau tidak  menyamping kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.
contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan 
u1, u2,u3,…un
U1 = suku pertama (atau biasa dibuat dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
karena bilangan tersebut memiliki irama. seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehinggarumusnya ditulis:
“u2-u1=u3-u2=u4-u3”
dan untuk mencari beda dengan rumus
“b = un – un – 1”
Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya

sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas

U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah

“un = a + (n-1) b”

contoh:
misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalau suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11

7.      Deret Aritmatika

            Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
      3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_n maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah:

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah:

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah:

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut.

a.       Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus 

b.      Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus 

BAB III

PENUTUP

1.      Rangkuman

·         Geometri menurut bahasa adalah, geometri berasal dari bahasa latin “ Geometria”, Geo : Tanah dan Metria : Ukuran. Geometri di Indonesia diterjemahkan Ilmu Ukur.

·         Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan(rasio) antara 2 suku berurutan adalah konstan.

·         Deret geometri adalah jumlah dari beberapa suku pada deret geometri.

·         Barisan adalah suatu urutan bilangan dengan suatu aturan tertentu. Atau, barisan merupakan nilaidari suatu fungsi yang domainnya bilangan asli.

·         Deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan.